【ブラックホール特集】第2章：重力による時間の遅れと相対性理論

1. 重力が時間に影響する理由

アインシュタインの一般相対性理論では、重力は「質量が時空を曲げる現象」として説明されています。
曲率が大きい（＝重力ポテンシャルが深い）場所ほど、局所の時間の進みは遅くなります。
この現象を gravitational time dilation（重力による時間の遅れ）といいます。

2. 時間の遅れを表す式（静的・球対称：シュワルツシルト解）

重力の影響が無視できる遠方での時間 \(T\) と、重力場にある時計の時間 \(T_0\)​ の関係は、次式で表されます。

$$ T = \frac{T_0}{\sqrt{1 – \frac{2GM}{Rc^2}}} $$

• \(G\)​：万有引力定数
• \(M\)​：天体の質量（kg）
• \(R\)​：観測点の半径（m）
• \(c\)​：光速（m/s）

この式は、時間の遅れが「重力加速度」ではなく、重力ポテンシャル（位置エネルギーの深さ）によって決まることを示しています。
同じ加速度でもポテンシャル差が違えば、時間差は異なります。

参考：生活や実務に役立つ高精度計算サイト「keisan」｜重力による時間の遅れ

3. 地球での数値例

地球の質量 \(M \sim 5.974\times10^{24} \ \mathrm{kg}\) 、半径 \(R \sim 6.378\times10^{6} \ \mathrm{m}\) を代入すると、地表の1秒に対して遠方では次のように進みます。

つまり、地表の時計は遠方の時計より1秒あたり約 \(6.956 \times10^{-10}\) 秒だけ遅く進みます。
この差は非常に小さいため、日常生活では体感できません。
しかし、GPS衛星のように地球から2万km以上離れた軌道では、相対論補正を行わなければ位置情報に誤差が生じてしまいます。
この差はごくわずかですが、人工衛星の時計では無視できません。
そのためGPS衛星では、常にこの時間のズレを補正し、正確な位置情報を提供しています。

4. ブラックホール近傍での極端なケース

事象の地平線（event horizon）に近づくほど
  \(1 – \dfrac{2GM}{Rc^{2}} \rightarrow 0\) となり、式の分母の平方根が0に近づきます。
遠方から見ると、時間はほぼ停止して見えます。

• 外部の観測者：落下する物体の時計は極端に遅く進む（停止に近づく）ように見えます。
• 落下している本人：自分の時間は通常どおりに進んでいます。

これは、観測者の位置によって「時間」の定義が異なることを示しています。

5. まとめ

重力による時間の遅れは、重力ポテンシャル差によって生じます。
地球上でも、例えば標高差によってもごくわずかな差が生じ、衛星測位では補正が必要です。
ブラックホール近傍では効果が極端になり、遠方から見ると時間が「停止」に近づきます。